Zumrotun Aini: Definisi Parabola beserta Bagian dan Langkah-Langkahnya

Definisi Parabola Beserta Bagian-Bagiannya

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya ke satu titik tertentu sama dengan jaraknya ke sebuah garis tertentu (direktriks).

Dalam bidang Matematika, sebuah parabola adalah bagian kerucut yang merupakan irisan antara permukaan suatu kerucut melingkar dengan suatu bidang datar. Parabola ini dapat dinyatakan dalam sebuah persamaan.

Atau secara umum, sebuah parabola adalah kurva yang mempunyai persamaan.

sehingga,

dengan nilai A dan B yang riil dan tidak nol.

Perhatikan gambar berikut :

Berikut bagian-bagian dari Parabola :

1. Persamaan Parabola dengan Puncak O(0,0)

Keterangan:

– Titik O(0,0) adalah titik puncak parabola

– Titik F(p,0) adalah titik fokus parabola

– Garis x = -p adalah garis direktriks

– Sumbu X adalah sumbu simetri

– L₁L₂ adalah lactus rectum = 4p

Parabola terbuka ke kanan

2. Persamaan Parabola dengan Puncak P(a,b)

Perhatikan gambar berikut ini !

Keterangan :

- titik puncak P(a,b)

- titik fokus F(a + p, b)

- persamaan direktriks : x = a – p

- persamaan sumbu simetri : y = b

Parabola terbuka ke kanan.

Langkah-Langkah Membuat Grafik Parabola Beserta Contoh Soal

1. Langkah-langkah Membuat Grafik Parabola

Parabola adalah kurva simetris dua dimensi yang berbentuk seperti irisan kerucut. Semua titik dalam parabola berjarak sama dari titik fokus dan garis directrix. Untuk membuat grafik parabola, Anda harus menemukan titik puncak juga beberapa koordinat x dan y di kedua sisi titik puncak parabola untuk menandai jalur yang dilewatinya.

Pahami bagian grafik parabola. Anda mungkin diberikan beberapa informasi sebelum menggambar grafik parabola, dan mengetahui istilahnya akan membantu Anda menghindari langkah yang tidak diperlukan. Berikut ini adalah bagian-bagian grafik parabola yang perlu Anda ketahui:

Titik fokus. Titik tetap di bagian dalam parabola yang digunakan untuk mendefinisikan kurva.
Titik directrix. Garis lurus tetap. Parabola adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama dari titik fokus dan titik directrix.
Sumbu simetri. Sumbu simetri adalah garis vertikal yang berpotongan dengan titik balik parabola. Setiap sisi sumbu simetri adalah bayangan cermin.
Titik puncak parabola. Titik perpotongan antara sumbu simetri dengan parabola. Jika parabola membuka ke atas, titik ini disebut sebagai titik minimal, sedangkan jika terbuka ke atas, titik ini disebut sebagai titik maksimal.

Pahami persamaan perabola. Persamaan parabola adalah y = ax²+ bx + c. Persamaan ini juga dapat dituliskan y = a(x – h)2 + k. Namun, kita akan menggunakan persamaan yang pertama dalam contoh di sini.

Jika variabel a dalam persamaan bernilai positif, parabola akan membuka ke atas, seperti huruf "U", dan mempunyai nilai minimal. Jika a bernilai negatif, parabola akan membuka ke bawah dan mempunyai nilai maksimal. Untuk membantu mengingatnya, bayangkan bentuk parabola seperti senyuman jika a bernilai positif, dan bentuk parabola seperti cemberut jika a bernilai negatif.
Sebagai contoh pada persamaan: y = 2x² -1. Parabola ini akan berbentuk seperti huruf "U" karena variabel a bernilai positif, yaitu 2.
Jika ada variabel y kuadrat dan bukan x kuadrat dalam persamaan Anda, parabola akan membuka ke samping, ke kanan atau ke kiri, mirip seperti huruf "C" atau "C" terbalik. Misalnya, parabola x² = y + 3 membuka ke kanan, seperti huruf "C".

Cari sumbu simetri parabola. Ingatlah bahwa sumbu simetri ini adalah garis vertikal yang berpotongan dengan titik balik parabola. Koordinat x titik ini sama dengan titik puncak, yang merupakan perpotongan antara sumbu simetri dengan parabola. Untuk mencari sumbu simetri parabola, gunakan persamaan: x = -b/2a

Dari persamaan contoh, diketahui a = 2, b = 0, dan c = 1. Sekarang, Anda bisa menghitung sumbu simetri dengan memasukkan nilai di atas ke dalam persamaan: x = -0/(2 x 2) = 0.
Sumbu simetri parabola adalah x = 0.

Cari titik puncak parabola. Setelah mendapatkan sumbu simetri parabola, Anda bisa memasukkan nilai yang diperoleh dalam persamaan di atas untuk mendapatkan nilai y pasangannya. Titik koordinat yang dihasilkan adalah titik puncak parabola. Dalam contoh di sini, Anda harus memasukkan nilai 0 ke dalam persamaan 2x² -1 untuk mendapatkan nilai y, y = 2 x 0² -1 = 0 -1 = -1. Jadi, titik puncak parabola Anda adalah (0,-1), yang merupakan titik perpotongan parabola dengan sumbu y.

Koordinat titik puncak juga disebut sebagai (h, k). Nilai h adalah 0 dan k adalah -1. Jika persamaan parabola ini dituliskan dalam bentuk y = a(x – h)2 + k, titik puncak parabola adalah (h, k), dan Anda tidak harus menghitungnya terlebih dahulu, asalkan dapat memahami grafik dengan benar.

Buat tabel berisi nilai x. Dalam langkah ini, Anda harus membuat tabel dan memasukkan nilai x di kolom yang pertama. Tabel ini akan memberikan koordinat yang diperlukan untuk menggambar grafik parabola.

Titik tengah x adalah sumbu simetri parabola.
Agar simetri, Anda sebaiknya menyertakan 2 nilai di atas dan di bawah nilai tengah x ke dalam tabel.
Sesuai contoh, masukkan nilai sumbu simetri x = 0, ke tengah tabel.

Hitung nilai koordinat y. Masukkan setiap nilai x ke dalam persamaan parabola dan hitung nilai y pasangannya. Masukkan nilai y yang diperoleh ke dalam tabel. Sesuai contoh, persamaan parabola dihitung sebagai berikut:

Untuk x = -2, y dihitung sebagai berikut: y = 2 x (-2)² - 1 = 8 - 1 = 7
Untuk x = -1, y dihitung sebagai berikut: y = 2 x (-1)² - 1 = 2 - 1 = 1
Untuk x = 0, y dihitung sebagai berikut: y = 2 x (0)² - 1 = 0 - 1 = -1
Untuk x = 1, y dihitung sebagai berikut: y = 2 x (1)² - 1 = 2 - 1 = 1
Untuk x = 2, y dihitung sebagai berikut: y = 2 x (2)² - 1 = 8 - 1 = 7

Masukkan hasil perhitungan nilai y ke dalam tabel. Setelah mendapatkan paling tidak 5 titik koordinat parabola, Anda nyaris siap menggambarnya. Sesuai hasil perhitungan, Anda sekarang mempunyai 5 titik: (-2, 7), (-1, 1), (0, -1), (1, 1), (2, 7). Sekarang, ingat kembali bahwa parabola adalah bayangan cermin di sumbu simetrinya. Berarti, koordinat titik y dari koordinat titik x yang saling berseberangan pada sumbu simetri bernilai sama. Koordinat y dari koordinat x -2 dan 2 adalah 7, dan seterusnya.

Gambarkan titik yang tercantum dalam tabel ke dalam bidang koordinat. Setiap baris tabel membentuk titik koordinat (x, y) di bidang koordinat. Jadi, gambarlah semua titik koordinat yang tercantum dalam tabel ke bidang koordinat.

Sumbu x merupakan sumbu horizontal, sedangkan sumbu y merupakan sumbu vertikal.
Nilai y positif terletak di atas titik (0, 0) dan nilai y negatif terletak di bawah titik (0, 0).
Nilai x positif terletak di sisi kanan titik (0, 0) dan nilai x negatif terletak di sisi kiri titik (0, 0).

Hubungkan titik di bidang koordinat. Untuk membuat grafik parabola, hubungkan titik-titik yang diperoleh dalam langkah sebelumnya. Grafik dari persamaan contoh akan berbentuk seperti huruf U. Pastikan untuk menghubungkan titik-titik dengan garis lengkung, bukan garis lurus. Dengan begitu, akan diperoleh grafik parabola yang akurat. Anda juga bisa menggambar anak panah ke atas atau ke bawah di kedua ujung parabola, sesuai bentuk grafik. Hal ini menandakan grafik parabola akan terus membesar hingga keluar bidang koordinat.

Contoh Soal Dan Pembahasan Parabola

1. Tentukan persamaan parabola jika titik puncaknya (2, 3) dan titik fokusnya (6, 3) !

Jawab:

Puncak (2, 3) dan focus (6, 3), maka : p = 6 – 2 = 4

Persamaan parabolanya :

(y – b)²= 4p(x – a)

(y – 3)²= 4.4(x – 2)

y² – 6y + 9 = 16(x – 2)

y² – 6y + 9 = 16x – 32

y² – 6y – 16x + 41 = 0

2. Diketahui persamaan parabola sebagai berikut : y² + 4y – 4x + 8 = 0.

Tentukan koordinat puncak , koordinat focus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks, dan sketsa gambarnya !

Jawab:

y² + 4y – 4x + 8 = 0

y² + 4y = 4x – 8

(y + 2)² – 4 = 4x – 8

(y + 2)² = 4x – 4

(y + 2)² = 4(x – 1) = (y – b)²= 4p(x – a)

Berarti : b= -2; a= 1; p = 1

Jadi, koordinat puncaknya (1, -2), koordinat fokusnya (a + p,b) = (2, -2), persamaan sumbu simetrinya y = -2, dan persamaan garis direktriksnya : x = a – p.

x = 1 – 1 = 0

Grafiknya :